选自quantamagazine【MIDD-010】イイオンナの開脚180°SEX LISA

作家：Erica Klarreich

机器之心编译

裁剪：Panda

历经三十年的努力，数学家照旧告捷解说了一个名为「朗兰兹摘要（Langlands program）」的弘大数学愿景的主要部分。

一个由 9 位数学家组成的团队告捷解说了几何朗兰兹猜测（Geometric Langlands Conjecture），这是当代数学鸿沟触及鸿沟最广的范式之一。

马克斯・普朗克数学磋磨所的著名数学家 Peter Scholze（他并未参与此解说）说：这项解说是三十年勤奋磋磨所到达的至极。「看到它得到措置果真太好了。」

朗兰兹摘要是由罗伯特・朗兰兹（Robert Langlands）在 1960 年代建议的。其是对傅里叶分析的豪迈泛化，而傅里叶分析是一个影响潜入的框架，可将复杂的波显露成多个平滑摇荡的正弦波。朗兰兹摘要在三个不同的数学鸿沟皆有伏击地位：数论、几何和所谓的函数域（function field）。这三个鸿换取过一个类比聚积合伙在了整个，而这个聚积也被称为数学的「罗塞塔石碑（Rosetta stone）」。

目下，一系列论文解说了这个罗塞塔石碑的几何栏位的朗兰兹猜测：https://people.mpim-bonn.mpg.de/gaitsgde/GLC/

德克萨斯州大学奥斯汀分校的 David Ben-Zvi 说：「其它鸿沟还莫得得到过如斯全面和有劲的解说。」

朗兰兹摘要的几何版块的主要前驱之一 Alexander Beilinson 说：「这是璀璨的数学，最好意思的那一类。」

该解说包含 5 篇论文，加起来卓越 800 页。它们来自 Dennis Gaitsgory（马克斯・普朗克磋磨所）和 Sam Raskin（耶鲁大学）引诱的一个团队。

Gaitsgory 往日 30 年来一直勤奋于解说几何朗兰兹猜测。这几十年来，他过甚谀媚者得到了多数磋磨后果，并在这些基础上完成了这项解说。格勒诺布尔 - 阿尔卑斯大学的 Vincent Lafforgue 将这些逾越比作是「不息升高的海」；他说这就像是 20 世纪了得数学家亚历山大・格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）的磋磨精神 —— 通过创造一个不息升高的念念想之海来措置辗转问题。

Dennis Gaitsgory（左图）和 Sam Raskin（右图），他们引诱的一个九东谈主团队解说了几何朗兰兹猜测。

要考据他们的新证晴朗果还需要些时日，但好多数学家皆显露信赖其中枢念念想是正确的。Lafforgue 说：「该表面的里面一致性很好，是以很难信赖它错了。」

在解说之前的几年里，该磋磨团队创建了不啻一条通往问题中枢的旅途。「他们得到的交融是如斯的丰富和豪迈，以至于他们从统统量的包围了这个问题。」他说，「它已无路可逃。」

大和谐表面

1967 年，时年 30 岁的普林斯顿大学教会罗伯特・朗兰兹在他手写给安德烈・韦伊（André Weil，这个罗塞塔石碑的创立者）的一份 17 页信件中阐扬了他的愿景。朗兰兹写到，在这个罗塞塔石碑的数论和函数域栏位上，有可能创造出一种广义版的傅里叶分析，况且其将具有惊东谈主的鸿沟和力量。

在经典的傅里叶分析中，对于两种不同的念念考波图（比如声波）的阵势，会使用一种名为傅立叶变换的历程来创造的它们之间的对应关系。在这对应关系的一侧是这些波自己。（咱们称之为波侧 /wave side）。这包括通俗的正弦波（在声学中即是纯音）以及由多个正弦波组成的复杂波。在这对应关系的另一侧是余弦波的频谱 —— 声学中的音高。（数学家称之为谱侧 /spectral side）。

傅立叶变换即是在这两侧之间往来。在一个方朝上，其可将波领悟成一组频率；在另一个方朝上，则可凭证其组成频率重建出波。这种双向变换的才智耕种了数不清的诓骗 —— 莫得它，咱们就不会领有当代电信、信号处理、磁共振成像或当代生活的许多其它必需品。

朗兰兹建议，罗塞塔石碑的数论和函数域栏位也有类似的变换，只是这里的波和频率皆愈加复杂。

不才面的视频中，罗格斯大学的数学家 Alex Kontorovich 将带咱们穿过这片数学大陆，了解朗兰兹摘要中枢的令东谈主咋舌的对称性。

视频源流：https://www.youtube.com/watch?v=_bJeKUosqoY

在这些栏位中的每一个，皆有一个由一组特殊函数组成的波侧，这些特殊函数类似于访佛的波。这些特殊函数中最隧谈的被称为特征函数（eigenfunction），其作用就类似于正弦波。每个特征函数皆有一个特征频率。不外，固然正弦波的频率是一个数值，但特征函数的频率则是一个无穷的数值列表。

还有谱侧。这由数论中的对象组成；朗兰兹以为这些对象秀雅了特征函数的频谱。他建议，存在一种类似于傅立叶变换的处理机制可将这里的波侧与谱侧合伙起来。「这件事有点神奇。」Ben-Zvi 说，「这不是咱们莫得任何情理时就能事前估量的东西。」

波与其频率标签来激昂不同样的数据鸿沟，因此若是能解说它们之间的对应关系，必定能带来丰厚的答复。举个例子，在 1990 年代时，一个相对较小的函数集的数论朗兰兹对应的解说就让 Andrew Wiles 和 Richard Taylor 解说了费马大定理 —— 这个问题曾是数学鸿沟最著名的待解说问题之一，数学界照旧为此努力了三个世纪。

加州大学伯克利分校的 Edward Frenkel 显露：朗兰兹摘要被视为「数学的大和谐表面」。关联词，即便数学家照旧努力解说了朗兰兹愿景中越来越大的部分，但他们也很明晰这个愿景并不完备。在这块罗塞塔石碑的几何学栏位，波与频率标签的关系似乎无法体现出来。

一粒沙

恰是从朗兰兹的磋磨职责运行，数学家对几何朗兰兹对应（geometric Langlands correspondence）的谱侧的神气有了一个认识。韦伊设定的罗塞塔石碑的第三个栏位（几何）触及紧黎曼曲面（compact Riemann surface），包括球面、甜甜圈形曲面以及多孔甜甜圈形曲面。一个给定的黎曼曲面皆有一个对应的对象，称为基本群（fundamental group），其追踪的是环绕曲面的环线的不同阵势。

数学家猜测，几何朗兰兹对应的谱侧应当由基本群的特定蒸馏阵势组成，这些特定的蒸馏阵势也被称为基本群的表征（representation）。

若是要在罗塞塔石碑的几何栏位体现出朗兰兹对应，那么黎曼曲面基本群的每个表征皆应该是一个频率标签 —— 关联词什么的频率标签呢？

对于频率似乎秀雅了基本群表征的特征函数，数学家找不到任何迫临。然后到了 1980 年代，如今赴任于芝加哥大学的 Vladimir Drinfeld 意志到：通过将特征函数替换成名为特征层（eigensheaf）的更复杂对象，有可能创建起几何朗兰兹对应 —— 不外那本事，他只知谈少数特征叠层的构建阵势。

层（sheaf）比函数艰深好多，因此数论学家那本事不知谈该若何交融这个朗兰兹对应的几何表亲。但几何朗兰兹摘要（尽管其波侧玄奥难解）相较于数论版块的朗兰兹摘要有着一个大上风。在几何朗兰兹中，特征层的频率由黎曼曲面上的点阻抑，球体或甜甜圈上的每个点在近距离看起来至极相似。但在数论朗兰兹中，频率由素数阻抑，况且每个素数皆有其稀奇的性质。伦敦帝国粹院的数论学家 Ana Caraiani 说：数学家不知谈「若何以一种很好的阵势从一个素数到另一个素数。」

黎曼曲面在物理学鸿沟具有伏击作用，尤其是在共形场论中，其阻抑着亚原子粒子在某些力场中活动。在 1990 年代早期，Beilinson 和 Drinfeld 展示了不错若何使用共形场论来构建某些特地好的特征层。

与共形场论这种合伙关系让 Beilinson 和 Drinfeld 运行念念考若何为层（sheaf）构建一种傅里叶分析。Ben-Zvi 说：「这就像是激勉结晶的一粒沙子。」

Beilinson 和 Drinfeld 建议了一个丰富的愿景，阐扬了几何朗兰兹对应理当的职责阵势。这不仅是基本群的每个表征皆应该秀雅一个特征层的频率。他们以为，这种对应关系也应当尊重两侧的伏击关系，Beilinson 和 Drinfeld 称这种瞻望是「最佳的但愿」。

1990 年代中期，Beilinson 在特拉维夫大学通过一系列讲座先容了这一发展中的磋磨图景。Gaitsgory 那时在此读磋磨生，努力采纳其中每句话。他回忆说：「我就像一只刚孵化的小鸭子，h网色域得到了一种印随活动。」

尔后的 30 年里，几何朗兰兹猜测一直是 Gaitsgory 数学糊口的主要驱能源。他说：「这些年皆在不休地职责，离筹算越来越近，开辟不同的器具。」

高潮之海

Beilinson 和 Drinfeld 只是松散地敷陈了他们的猜测，事实解说他们有点过于简化「最佳的但愿」中的关系理当的职责阵势了。2012 年时，Gaitsgory 与威斯康星大学麦迪逊分校的 Dima Arinkin 搞明晰了若何将这「最佳的但愿」造成一个精确的猜测。

之后一年，Gaitsgory 写了一份大纲，阐扬了解说几何朗兰兹猜测的可能阵势。该大纲依赖多数中间敷陈，其中好多那时皆尚未得到解说。Gaitsgory 过甚谀媚者运行入部属手解说它们。

接下来的几年时辰里，Gaitsgory 和多伦多大学的 Nick Rozenblyum 写了两本对于层的书，加起来接近 1000 页。在这套两卷本中，几何朗兰兹摘要只被说起了一次。Gaitsgory 说：「但其目的是奠定基础，自后咱们也多数使用到了这些基础。」

2020 年，Gaitsgory 转眼发现他没什么日程安排了。他说：「我花了三个月时辰躺在床上，只是念念考。」这些念念考最终促成了一篇论文（有 6 位作家）。固然这篇论文专注于朗兰兹摘要的函数域栏位，但其中也包含「一粒种子」—— 这粒种子自后造成了解说几何朗兰兹猜测的要津组件：一种用于交融特征层若何促进所谓的「白噪声」的瓜代。

其他七位磋磨者的像片。左起顺时针目的：Dario Beraldo、Lin Chen（陈麟）、Kevin Lin、Nick Rozenblyum、Joakim Færgeman、Justin Campbell 和 Dima Arinkin。

在经典的信号处理鸿沟，可由正弦波构建声波，其频率对应于声息中的音高。只是知谈声息包含哪些音高是不够的 —— 还需要知谈每个音高的响度有多大。这些信息让你可将声息写成正弦波的组合阵势：只需从幅度为 1 的正弦波运行，然后让正弦波乘以合适的响度因子，再将这些正弦波加在整个。统统不同的幅度为 1 的正弦波之和即是咱们常说的「白噪声」。

在几何朗兰兹摘要的宇宙里，特征层的作用就类似于正弦波。Gaitsgory 过甚谀媚者识别出了一种名为庞加莱层（Poincaré sheaf）的东西，其作用似乎就类似于白噪声。但这些磋磨者并不明晰能否将每个特征层皆显露在庞加莱层中，更不必说它们是否皆具有同样的幅度了。

2022 年春，Raskin 与他的磋磨生 Joakim Færgeman 展示了若何使用那篇六作家论文中的念念想来解说每个特征层皆确乎可显露在庞加莱层中。Gaitsgory 在谈到对几何朗兰兹猜测的解说时说：「在 Sam 的和 Joakim 的论文之后，我很深信咱们能在短时辰内作念到。」

磋磨者需要解说，统统特征层对庞加莱层皆有同等的孝敬，况且基本群表征秀雅了这些特征层的频率。他们相识到，最难的部分是处理这种基本群的表征：不能约表征。

这些不能约表征的措置决策出现之时，Raskin 的个东谈主生活正一派紊乱。在他与 Færgeman 在网上发布了他们的论文几周后的某天，Raskin 不得不仓卒中地将他孕珠的细君送往病院，然后再回家送女儿第一次去幼儿园。Raskin 的细君在病院住了六周，直到他们的第二个孩子诞生。在这段时辰里，Raskin 的生活一直在轮轴转 —— 为了保证女儿的普通生活，他连续断地在家、女儿的学校和病院之间往来奔忙。他说：「我那时的全部生活即是车和关怀东谈主。」

他在驾驶途中与 Gaitsgory 打电话探讨数学。在那几周的第一周快收尾时，Raskin 意志到他不错将这个不能约表征问题简化成解说三个那时照旧举手投足的事实。「对我来说，那段时辰很神奇。」他说，他的个东谈主生活「充满了对畴昔的狂躁和懦弱。对我来说，数学是一种需要根植（grounding）和冥想的东西，不错让我解脱那种狂躁。」

到 2023 岁首，Gaitsgory 和 Raskin 以及 Arinkin、Rozenblyum、Færgeman 和其他四名磋磨东谈主员整个，对 Beilinson 和 Drinfeld 的「最佳的但愿」进行了齐备的解说，并由 Gaitsgory 和 Arinkin 进行了纠正。（其他磋磨者为伦敦大学学院的 Dario Beraldo、清华大学的 Lin Chen（陈麟）、芝加哥大学的 Justin Campbell 和 Kevin Lin。）该团队又用了一年时辰将该解说写下来。他们在本年二月份在网上发布了该解说。尽管这些论文驯顺 Gaitsgory 在 2013 年制定的大纲，但其中简化了 Gaitsgory 的瓜代并在好多方面作念出了立异。Lafforgue 说：「对于这个无与伦比的成就，好多智谋东谈主为此孝敬了好多新认识。」

「他们不单是是解说了它，」Ben-Zvi 说，「他们围绕它开辟了整个宇宙。」

更远的海岸

对 Gaitsgory 来说，这个数十年联想的已毕远非故事的收尾。还有许多进一步的难题有待数学家措置 —— 更深入地探索其与量子物理学的相干、将该散伙膨胀到带穿孔的黎曼曲面、搞明晰其对罗塞塔石碑的其它栏位的影响。Gaitsgory 在一封电子邮件中写到：「这嗅觉（至少对我来说）更像是凿下了一块大石头，但咱们离中枢依然还很远。」

磋磨其它两个栏位的磋磨者目下紧急地想要将这个解说转译往日。Ben-Zvi 说：「其中一个主要碎屑得到措置这一事实应该会对朗兰兹对应的举座磋磨产生紧要影响。」

但并非统统东西皆能带往日 —— 举个例子，在数论和函数域建设中，并莫得与共形场论念念想相对应的东西，而共形场论能让磋磨者在几何建设中构建起特殊的特征层。在将该解说中的好多东西用于其它栏位之前，还需要一些艰苦的调治。伯克利的 Tony Feng 说：咱们还不明晰是否能「将这些念念想退换到一个蓝本没想过能使用它们的不同环境中。」

但好多磋磨者皆乐不雅地信赖这个高潮的念念想之海最终会漫延到其它鸿沟。Ben-Zvi 说：「它将渗入穿过学科之间的统统窒碍。」

往日十年中，磋磨者照旧运行发现几何栏位与另外两个栏位之间的相干。「若是（几何朗兰兹猜测）在 10 年前就被告捷解说，那么散伙会大不同样。」Feng 说，「东谈主们就不会相识到它的影响可能会拓展到（几何朗兰兹）社区除外。」

在将几何朗兰兹解说转译到函数域栏位方面，Gaitsgory、Raskin 过甚谀媚者照旧取得了一些发扬。（Raskin 暗意说，Gaitsgory 和 Raskin 在后者的永远驾驶途中得到的一些发现「还有待揭示」。）若是转译告捷，则可能得到一个比数学家之前知谈或甚而揣测的还要远远愈加精确的函数域朗兰兹版块。

而从几何栏位到数论栏位的大多数转译皆会经过函数域。但在 2021 年，巴黎 Jussieu 数学磋磨所的 Laurent Fargues 和 Scholze 想象了一个所谓的虫洞（wormhole），可将几何栏位的念念想径直带到数论朗兰兹摘要的某一部分。

Scholze 说：「我详情是一个想要转译这些几何朗兰兹解说的东谈主。」议论到这片高潮之海包含上千页文本，这绝非易事。「我目下过期几篇论文，」Scholze 说，「正在努力研读他们在 2010 年傍边的后果。」

目下，几何朗兰兹磋磨者终于将他们的长篇论证述诸论文，Caraiani 但愿他们能有更多时辰与数论目的的磋磨者计较。她说：「东谈主们有着至极不同的念念考问题的阵势。若是他们大概延缓脚步，互相交谈，了解对方的不雅点，那总会有平正的。」她预测说这项新后果的念念路必定会传播到数论鸿沟，这只是个时辰问题。

正如 Ben-Zvi 说得那样：「这些散伙是如斯的矜重，以至于你一朝运行，就很难再停驻来。」

原文畅达：https://www.quantamagazine.org/monumental-proof-settles-geometric-langlands-conjecture-20240719/